Matemáticas, física y ecuaciones diferenciales

El hombre desde que es hombre ha tratado de entender y predecir los fenómenos de la Naturaleza. Gracias a la Física y a las Matemáticas  y sus ecuaciones diferenciales, los seres humanos hemos ido modelizando muchos comportamientos para luego aplicarlos en la ingeniería. En este post vamos a ver algunos ejemplos de ello.

Pues bien, muchas veces el proceso que seguimos es bastante similar, o si no, ¿en qué se parecen la ecuación de un sólido de igual resistencia, la de la presión del aire en función de la altura y la de la descarga de un condensador ideal?. En todos ellos elegiremos un elemento diferencia,l que mediante ecuaciones diferenciales nos proporcionará las funciones que gobiernan dichos procesos. Veremos que los tres procesos siguen una función exponencial. Veamos el primer ejemplo:

1. Sólido de igual resistencia:

El sólido de igual resistencia se caracteriza por tener el mismo esfuerzo en cada sección a pesar de que esta vaya variando. Es decir σ=constante. El sólido en cuestión está sometido a su propio peso con densidad γ y a una fuerza adicional F=P.

Y ahora aislando un elemento diferencial  de espesor dx, y aplicando condiciones de equilibrio:

Una vez hecho esto, realizaremos algunos cálculos a partir de los resultados obtenidos. Una vez con las expresiones preparadas, integraremos ambas:

Y ahora aplicando la condición de contorno de área igual a A_o en x=0, podemos determinar la constante que aparece tras realizar la integración y que hemos puesto en forma de logaritmo para operar más fácilmente:

2.Variación de la presión del aire en función de la altura.

Para determinar esta variación, vamos a utilizar una metodología como la anterior. En este caso el elemento diferencial es análogo pero en vez de material tenemos aire. Ahora aplicando condiciones de equilibrio, haciendo uso de la ecuación de los gases ideales y calculando un poco:

Y al igual que antes aplicamos condiciones de contorno, que en este caso es la presión para z=0 que tiene un valor P_o

3. Ecuación de la descarga de un condensador ideal.

En este caso trabajaremos con un elemento diferencial, pero no longitud sino de tiempo. Además, también conocemos la variación de la intensidad en función del tiempo:

Ahora se sustituye utilizando la ecuación de la intensidad con el signo negativo, ya que la intensidad de corriente va disminuyendo con el tiempo:

Y para finalizar la condición de contorno. Teniendo en cuenta que para t=0 tenemos una carga inicial q_o:

Pues ya habéis visto como de una manera similar hemos obtenido las leyes que gobiernan tres procesos completamente distintos pero con ecuaciones muy similares. Ya sabéis, sólo hace falta un ingeniero o un licenciado en ciencias para observar un fenómeno de la física, echarle una pensada, modelarlo y resolver las correspondientes ecuaciones diferenciales.

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