Centro de masas y momento de inercia

En este post voy a hablar del concepto de centro de masas y momento de inercia. Para ello emplearé algunas de las ilustraciones del material docente que muy amablemente me facilitó la editorial Mc Graw-Hill.

El centro de masas y el momento de inercia son propiedades geométricas, no dependientes de ningún otro parámetro y de gran importancia a la hora de diseñar ciertas estructuras o componentes. Ambos están relacionados en el sentido de que en muchos casos para calcular la inercia (sobre todo en figuras compuestas por varios rectángulos) es necesario conocer el centro de masas para aplicar el Teorema de Steiner. A continuación vamos a ver ambos conceptos por separado.

Centro de masas

Podemos decir que el centro de masas es el punto donde se concentra la masa de un sólido o sistema material de puntos. Por ejemplo, si tenemos una esfera, podemos aproximar su comportamiento al de un punto localizado en su centro y con una masa igual a su densidad por el volumen.

El centro de masas tiene infinidad de utilidades. Por ejemplo, las leyes de Newton solo pueden aplicarse a sistemas de puntos materiales. De una forma más práctica, en el diseño de automóviles, es importante que el centro de masas esté en una posición relativamente baja para tener una mayor estabilidad. Mientras que en un turismo normal el centro de masas se encuentra aproximadamente a 1100 mm, en un coche tipo Ferrari, está muy por debajo para conseguir un mejor agarre al terreno.

Para calcular el centro de masas solo es necesario multiplicar la masa de cada punto o elemento, por su distancia al eje dividiéndolo después por el área total para obtener así unidades de longitud. Utilizar esta expresión nos permite determinar por ejemplo, que el centro de masas de un sistema de dos puntos está en la recta que los une, el de un anillo en su centro, en un rectángulo en el punto donde se cortan las diagonales etc. A continuación os presento una tabla con algunos centros de masa importantes:

Momentos de Inercia

Inercia es una palabra que utilizamos demasiado a menudo de forma que según la RAE, la inercia es:

1. f. Mec. Propiedad de los cuerpos de no modificar su estado de reposo o movimiento si no es por la acción de una fuerza.

Por ejemplo cuando empujamos algo que se mueve linealmente, solemos decir que tiene mucha inercia. Sin embargo, esto no es del todo correcto puesto que la inercia es, estrictamente hablando, la resistencia a los cambios en la rotación de un objeto.

La inercia puede calcularse mediante la el producto masa por distancia al cuadrado, o en caso de tratarse de una densidad constante y para una geometría continua, de la manera siguiente:

Veamos a continuación como calcularlo para un triángulo:

La inercia es una propiedad muy importante en dinámica y estática. Por ejemplo en resistencia de materiales, es un parámetro fundamental pues es necesaria para calcular la tensión en una sección debida a la aplicación de un momento en la estructura. Debido a que es inversamente proporcional a la tensión que sufre la sección en cuestión, es preferible diseñar estructuras con una alta inercia, minimizando así la solicitación.

Debido a lo anterior, somos capaces de deducir los “extraños” perfiles de algunas vigas. Por ejemplo el motivo para utilizar vigas con sección de doble T es que al ser la inercia proporcional a la distancia, normalmente es preferible localizar el material en posiciones con una mayor distancia a la periferia, esto es, lo más alejados posibles del centro de gravedad.

Propiedades de la inercia

1. Es una propiedad aditiva.

2. A la hora de calcular la inercia de un cuerpo es importante escoger unos ejes adecuados. Por ejemplo en un cubo no es lo mismo calcularlo con respecto a su diagonal que con respecto a cualquier otro eje.

3. Cálculo de inercia con respecto a unos ejes paralelos a los que pasan por el centro de gravedad de la figura: se realiza mediante el teorema de Steiner:

4. Cálculo de los principales momentos de inercia: una vez calculada la inercia con respecto a los ejes que pasan por el centro de gravedad de la figura, es posible hallar las direcciones principales mediante el círculo de Mohr:

Producto de inercia

El producto de inercia es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Este se calcula mediante el producto de masa por distancia a cada uno de los ejes. A continuación un esbozo sobre el producto de inercia, en el que se explica porque en muchos casos es igual a cero:

Para finalizar adjunto una tabla con los momentos de inercia de algunas geometrías comunes:

Ejercicio propuesto

Pues ahora que conoces mejor el concepto de inercia, ¿serías capaz de resolver el siguiente problemas cuyas soluciones adjunto? Para ello solo hay que descomponer la figura en varios rectángulos, de los que sí conocemos el momento de inercia y luego aplicar el teorema de Steiner y sumar todas las contribuciones. Fácil, ¿no?

Enunciado y solución ejercicio.

Te quedas con ganas de más? Échale un vistazo a los siguientes vídeos:

También puedes aprovechar y calcular el centro de masas y el momento de inercia de cualquier figura plana empleando la siguiente aplicación:

Software Secciones

Por último, os dejo algunos links verdaderamente interesantes sobre el tema:

Lista de momentos de inercia para sólidos en 3D.

Presentación sobre momento de inercia y círculo de Mohr.

Post momento de inercia y círculo de Mohr.

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